Lista de exercícios do ensino médio para impressão
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(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos $\;A=(1,2)\;$, $\;B=(2,-2)\;$ e $\;C=(4,3)\;$, a equação da reta que passa por $\;A\;$ pelo ponto médio do segmento $\;\overline{BC}\;$ é:
a)
$3x + 4y = 11$
b)
$4x + \dfrac{7}{2}y = 11$
c)
$x + 3y = 7$
d)
$3x + 2y = 7$
e)
$x + 2y = 5$

 



resposta: Alternativa A
×
(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos $\;A=(1,\,2)\,$, $\;B=(2,\,-2)\,$ e $\;C=(4,\,3)\,$, a equação da reta que passa por $\;A\;$ pelo ponto médio do segmento $\,\overline{BC}\,$ é:
a)
$3x + 4y = 11$
b)
$4x + \dfrac{7}{2}y = 11$
d)
$3x + 2y = 7$
c)
$x + 3y = 7$
e)
$x + 2y = 5$

 



resposta: alternativa A
×
A altura do triângulo equilátero de lado $3$ cm. mede:
a)
$ \dfrac{1}{2} $ cm
b)
$\dfrac{3}{2}$ cm
c)
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ cm
d)
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ cm
e)
$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ cm

 



resposta: Alternativa E
Resolução:
Conforme a figura, no triângulo equilátero $\,ABC\,$ de lado 3 cm é traçada a altura $\,h\,$, que é perpendicular a $\,\overline{BC}\,$ e divide o segmento no seu ponto médio $\,M\,$.Considerando-se o triângulo retângulo $\,AMC\,$, temos:
hipotenusa
$\,\overline{AC}\,=\,3\,cm\,$
cateto
$\,\overline{MC}\,=\,\dfrac{3}{2}\,cm\,$
cateto
$\,\overline{AM}\,=\,h\,$
e pelo Teorema de Pitágoras:
$\,\boxed{(AC)^2\,=\,(MC)^2\,+\,(AM)^2}\;\Rightarrow\;$ $ 3^2\,=\;(\dfrac{3}{2})^2\,+\,h^2\;\Rightarrow\,$
$\,\Rightarrow\;h^2 \,=\,9\,-\,\dfrac{9}{4}\;\Rightarrow\;h\,=\,\sqrt{\dfrac{36\,-\,9}{4}}\;\Rightarrow$
$\,\Rightarrow\;h\,=\,\sqrt{\dfrac{27}{4}}\,=\,\sqrt{\dfrac{3\centerdot9}{4}}\,=\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,$
o valor $\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,$ é satisfeito pela alternativa (E).
Observações:
●É importante verificar nas respostas se a unidade de medida confere: centímetros.
●Para unidades de medida-distância consideramos apenas os valores positivos.
●Para quem vai prestar concurso é importante memorizar que a altura de um triângulo EQUILÁTERO de lado $\,\ell\,$ é igual a $\,\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}\,$.

×
(CESCEM) O triângulo $\,ABC\,$ tem vértices $\,A\,(0\,;\,0)\,,\;B\,({\large \frac{3}{5}}\,;{\large\frac{3}{5}})\;$ e $\;C\,({\large -\frac{3}{5}};{\large \frac{3}{5}})\;$. A equação da reta que passa por $\;A\;$ e pelo ponto médio de $\,\overline{BC}\;$ é:

a)
x = 0
b)
y = 0
c)
$\,y\,=\,{\large \frac{5}{3}} \centerdot x$
d)
$\,y\,=\,{\large \frac{3}{5}} \centerdot x$
e)
$\,y\,=\,{\large -\frac{3}{5}} \centerdot x$


 



resposta: alternativa A
×
(CESCEM) Considere o triângulo $\phantom{X} V_1\;(0\,,\,0),\;V_2\;(a\,,\,a)\;$ e $\;V_3\;(a\,,\,-a) . \phantom{X}$ A equação da reta que passa pelo vértice $\,V_3\,$ e pelo ponto médio do lado $\,V_1V_2\,$ é:
a)
$\,y\,=\,-\,\dfrac{1}{3} \centerdot x \,+\,\dfrac{29}{3}\,$
b)
$\,y\,=\,-3x\,+\,2a\,$
c)
$\,y\,=\,x\,-\,1\,$
d)
$\,y\,=\,-\,\dfrac{1}{3} \centerdot (x\,-\, \dfrac{a}{2}) \,+\, \dfrac{a}{2}\,$
e)
$\,y\,=\,3x\,+\,2a\,$

 



resposta: (B)
×
Determinar a equação da circunferência que tem um diâmetro determinado pelos pontos A (5 , -1) e B (-3 , 7) .

 



resposta:
Resolução:
O segmento $\,\overline{AB}\,$ é um diâmetro da circunferência, então o centro da circunferência é o ponto médio de $\,\overline{AB}\,$:
$\left\{\begin{array}{rcr} A(5\, ,\,-1) \phantom{X}& \\ B(-3\,,\,7) \phantom{X}& \\ \end{array} \right. \;$ $\Rightarrow \;C\,\left( \frac{5 - 3}{2}\,;\,\frac{-1+7}{2} \right)\;\Rightarrow\;C\,(1\,;\,3)$
O raio da circunferência é obtido através da distância AC ou da distância BC.
$\,r\,=\,|AC|\,=$ $\,{\large\,\sqrt{(5\,-\,1)^2\,+\,(-1\,-\,3)^2}}\,=\,\sqrt{32}\,$
A equação da circunferência de raio $\,\sqrt{32}\,$ e centro $\,C\,(1 ; 3)\,$ é:
$\,(x\,-\,1)^2\,+\,(y\,-\,3)^2\,=\,32\;\Rightarrow$ $\;x^2\,+\,y^2\,-\,2x\,-\,6y\,-\,22\,=\,0\,$
Resposta:
$\,\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,-\,2x\,-\,6y\,-\,22\,=\,0\;}\,$

×
Dados os pontos A (-3 ; 6) e B (7 ; -1) , determinar as coordenadas do ponto médio do segmento $\;\overline{AB}\,$.

 



resposta: Resolução:
Se um ponto $\;M\,(x_M\,;\,y_M)\;$ é o ponto médio do segmento $\;\overline{AB}\;$ então:
(I)
A coordenada $\,x_M\,$ é a média aritmética dos valores das coordenadas $\,x_A\,$ e $\,x_B\,$
$x_M\,=\,{\large \frac{x_A + x_B}{2}}\;\Rightarrow\;x_M\,=\,{\large \frac{(-3) + 7}{2}}\,=\,2$
(II)
A coordenada $\,y_M\,$ é a média aritmética dos valores das coordenadas $\,y_A\,$ e $\,y_B\,$
$y_M\,=\,{\large \frac{y_A + y_B}{2}}\;\Rightarrow\;y_M\,=\,{\large \frac{6 +(-1)}{2}}\,=\,\frac{5}{2}$
concluímos que o ponto médio é $\;M\,(2\,;\frac{5}{2})$

Resposta:$\;\boxed{\;M\,(2\,;\,\frac{5}{2})\;}\,$

×
(OSEC) Se num sistema cartesiano ortogonal no plano, o ponto A (9 ; 4) é um dos vértices de um quadrado inscrito num círculo de centro C (6 ; 0) , então um outro vértice do quadrado poderia ter como coordenadas:
a)
(1 ; 0)
b)
(11 ; 0)
c)
(3 ; 5)
d)
(6 ; 5)
e)
(3 ; 4)

 



resposta: alternativa E
×
Os pontos médios dos lados de um triângulo são os pontos D (2 ; 1) , E (-6 ; 3) e F (-4 ; -5) . Calcular as coordenadas dos vértices.

 



resposta: (0;9), (4;-7) e (-12;-3)

×
(MAUÁ) Determinar as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo-se que os pontos médios de seus lados são: (-2 ; 1) , (5 ; 2) e (2 ; -3) .

 



resposta: (1 ; 6) , (9 ; -2) e (-5 ; -4) .

×
(ITA - 1979) Considere o triângulo ABC , onde AD é a mediana relativa do lado BC . Por um ponto arbitrário M do segmento BD , tracemos o segmento MP paralelo a AD , onde P é o ponto de intersecção desta paralela com o prolongamento do lado AC . Se N é o ponto de intersecção de AB com MP , podemos afirmar que:
a)
MN + MP = 2BM
b)
MN + MP = 2CM
c)
MN + MP = 2AB
d)
MN + MP = 2AD
e)
MN + MP = 2AC
triângulo ABC com mediana AD e prolongamento de AC

 



resposta:
Resolução:
1.$\;\overline{MN}\;$ é paralelo a $\;\overline{AD}\;$ e $\;\overline{AD}\;$ é paralelo a $\;\overline{MP}\;$
$MN // AD\;\Rightarrow\;$ $\;\triangle BMN\thicksim\triangle BDA\;\Rightarrow\;\dfrac{MN}{DA}\,=\,\dfrac{BM}{BD}\;\Rightarrow\;$ $\;MN\,=\,DA\centerdot\, \dfrac{BM}{BD}\phantom{X}$(I)
$AD // MP\;\Rightarrow\;\triangle MPC\thicksim\triangle DAC\;\Rightarrow\;$ $\; \dfrac{MP}{DA}\,=\, \dfrac{MC}{DC}\;\Rightarrow\;$ $\;MP\,=\,DA\centerdot\,\dfrac{MC}{DC}\phantom{X}$(II)
2. Fazendo a soma (I) + (II):
$\;MN\,+\,MP\,=\,$ $\,DA\,\centerdot\,\dfrac{BM}{BD}\,+\,DA\,\centerdot\,\dfrac{MC}{DC}\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,(\dfrac{BM}{BD}\,+\, \dfrac{MC}{DC})$
3.$\;AD\;$ é a mediana relativa ao lado $\;BC\;\Rightarrow\;D\;$ é ponto médio de $\;BC\;\Rightarrow\;BD\,=\,DC\;$.
$\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\left(\dfrac{BM}{BD}\,+\, \dfrac{MC}{BD}\right)\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\left(\dfrac{BM + MC}{BD}\right)$
4. Da figura, $\;BM\,+\,MC\,=\,BC\;$, então concluimos que:
$\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\left( \dfrac{BC}{BD}\right)\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\, \dfrac{(BD\,+\,DC)}{BD}\;\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\dfrac{(BD\,+\,BD)}{BD}\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\, \dfrac{2(BD)}{BD}\;\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,2\;\Leftrightarrow\;$
$\;\boxed{\;MN\,+\,MP\,=\,2\,\centerdot\,DA\;}$
Resposta:
(D)

×
(MAPOFEI - 1970) Pelo ponto $\,P\,$ de coordenadas cartesianas ortogonais $\,(\operatorname{cos}\beta\,$; $\,\operatorname{sen}\alpha)\phantom{X}$, com $\,(0\,\leqslant\,\alpha\,<\,\beta\,\leqslant\,\dfrac{\pi}{2})\,$ passam duas retas $\,r\,$ e $\,s\,$ paralelas aos eixos coordenados (ver figura)
a)
Determinar as coordenadas das intersecções de $\,r\,$ e $\,s\,$ com a circunferência $\,x^2\,+\,y^2\,=\,1\,$.
b)
Determinar a equação da reta $\,\overleftrightarrow{PM}\,$, onde $\,M\,$ é o ponto médio do segmento $\,\overline{AB}\,$.
c)
Demonstrar analiticamente que as retas $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ são perpendiculares.
plano cartesiano com retas r e s

 



resposta: a) $\,A(cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,B(cos\beta\,;\,sen\beta)\,$
$\,C(-cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,D(cos\beta\,;\,-sen\beta)\,$
b) $\,cos\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,x\,-\,sen\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,y\,-\,cos\dfrac{\beta\,-\,\alpha}{2}\,\centerdot\,cos(\beta\,+\,\alpha)\,=\,0\,$
c) basta provar que o produto dos coeficientes angulares de $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ é igual a -1.

×
(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?

 



resposta:
Resolução:
a)
triângulo retângulo inscrito na circunferência

Seja $\,\triangle ABC\,$ o triângulo retângulo como na figura, com ângulo $\,\hat{C}\,$ de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro $\,M\,$ circunscrita ao $\,\triangle ABC\,$.O ângulo $\,B\hat{A}C\,$ é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente $\,B\hat{M}C\,$. Portanto a medida de $\,B\hat{M}C\,$ é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento $\,\overline{BC}\,$, é um diâmetro da circunferência de centro $\,M\,$, e que $\,M\,$ (centro) é ponto médio de $\,\overline{BC}\,$. Sendo $\,\overline{AM}\,$ um raio da circunferência, então a medida de $\,\overline{AM}\,$ é igual à metade da medida do diâmetro $\,\overline{BC}\,$.
Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio)
b)
triângulo retângulo hipotenusa 20 cm

Como a $\,\overline{AM}\,$ e $\,\overline{MC}\,$ têm a mesma medida, então o $\,\triangle AMC\,$ é isósceles e portanto: $\,M\hat{A}C\,=\,M\hat{C}A\,=\,20^o\,$.
Sendo $\,\overline{AS}\,$ bissetriz de $\,\hat{A}\,$ de medida 90°, então $\,C\hat{A}S\,=\,45^o\,$, donde concluímos que:
$\,S\hat{A}M\,=\,S\hat{A}C\,-\,M\hat{A}C\;\Rightarrow\;S\hat{A}M\,=\,45^o\,-\,20^o\,=\,25^o$
resposta
a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e
b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°

×
(FUVEST - 2015) No triângulo retângulo $\;ABC\;$, ilustrado na figura, a hipotenusa $\,\overline{AC}\,$ mede 12 cm e o cateto $\,\overline{BC}\,$ mede 6 cm. Se $\,M\,$ é o ponto médio de $\,\overline{BC}\,$, então a tangente do ângulo $\,\widehat{MAC}\,$ é igual a:
a)
$\,\dfrac{\sqrt{2}}{7}\,$
b)
$\,\dfrac{\sqrt{3}}{7}\,$
c)
$\,\dfrac{2}{7}\,$
d)
$\,\dfrac{2\sqrt{2}}{7}\,$
e)
$\,\dfrac{2\sqrt{3}}{7}\,$
triângulo retângulo ABC

 



resposta: Alternativa B
×
Determine x, sendo M o ponto médio de $\,\overline{AB}\,$:
a)
segmento de reta AB com ponto médio M
b)
segmento de reta AB - M é o ponto médio

 



resposta: a) 7b)6
×
Determine AB, sendo M o ponto médio de $\,\overline{AB}\,$:
a)

segmento AB com ponto médio M
b)

segmento AP com pontos internos M e B

 



resposta: a) 42b) 24
×
(PUC CAMP - 1980) Os lados paralelos de um trapézio retângulo medem 6 cm e 8 cm, e a altura mede 4 cm. A distância entre o ponto de instersecção das retas suporte dos lados não paralelos e o ponto médio da maior base é:
a)
$\,5\sqrt{15}\,$ cm
b)
$\,2\sqrt{19}\,$ cm
c)
$\,3\sqrt{21}\,$ cm
d)
$\,4\sqrt{17}\,$ cm
e)
nenhuma das anteriores
 
 

 



resposta: Alternativa D
×
(EPUSP - 1951) Dados os pontos $\;A(a;\,0)\;$ e $\;B(0;\,b)\;$, tomemos sobre a reta $\phantom{X}\overleftrightarrow{AB}\phantom{X}$ um ponto $\,C\,$ de modo que $\,\overline{BC}\,=\,m\centerdot\overline{AB}\phantom{X}$ $\;(m\,\in\,\mathbb{R}\,;\,m\,\neq\,0)\;$. Pede-se a equação da reta perpendicular a $\,\overleftrightarrow{AB}\,$, a qual passa pelo ponto médio do segmento $\,\overline{AC}\,$.

 



resposta: $\,2ax\,-\,2by\,+\,$ $\,[b^2(1\,+\,m)\,-\,a^2(1\,-\,m)]\,$ $\,=\,0\,$

×
A e B são dois pontos de uma reta e M é o ponto médio de AB . Um móvel percorre essa reta, sempre no mesmo sentido e com movimento uniforme em cada um dos trechos AM e MB . A velocidade do trecho AM é 20 m/s e no no trecho BM é 30 m/s. Determinar a velocidade média entre os pontos A e B .

 



resposta: 24 m/s
×
No esquema a seguir temos um objeto real AB e sua imagem virtual A'B' fornecida por um espelho esférico.
quadriculado com objeto e imagem de espelho esférico

Os pontos A e A' estão sobre o eixo principal do espelho. O vértice, o foco e o centro de curvatura do espelho são, nessa ordem:

a)
X, Y e Z.
b)
X, Z e Y.
c)
Y, X e Z.
d)
Y, Z e X.
e)
Z, X e Y.

 



resposta: (D)
Resolução:
quadriculado com objeto e imagem de espelho esférico e raios determinantes da posição do espelho

1. O raio (I), representado em vermelho, define uma reta que une o ponto objeto com sua imagem conjugada. O cruzamento da reta (I) com o eixo principal do espelho determina o centro de curvatura do espelho, o ponto X.

2. O raio (II), representado em azul, define uma reta que une o ponto imagem ao simétrico do objeto. O cruzamento da reta (II) com o eixo principal determina a posição do espelho (= o vértice do espelho), o ponto Y.

3. O foco é o ponto médio entre o centro de curvatura (X) e o vértice (Y), então o foco é o ponto Z.


×
Em um farol de automóvel tem-se um sistema refletor constituído por um espelho esférico e um filamento de pequenas dimensões que pode emitir luz. O farol funciona bem (feixe refletido cilíndrico) quando o espelho é:
a)
côncavo com o filamento no centro de curvatura.
b)
côncavo com o filamento no foco.
c)
convexo com o filamento no no centro de curvatura.
d)
convexo com o filamento no foco.
e)
convexo com o filamento no ponto médio entre o foco e o centro

 



resposta: (B)
×
Na figura representamos um objeto real AB e sua imagem A'B' fornecida por uma lente usada nas condições de aproximação de Gauss.
eixo principal da lente esférica
Sabendo que o objeto AB e sua imagem A'B' têm mesmo tamanho, assinale a opção falsa:
a)
a distância focal da lente vale 5,0 cm.
b)
a imagem é real.
c)
a lente pode ser convergente ou divergente.
d)
a lente se posiciona no ponto médio do segmento AA'.
e)
o objeto AB e sua imagem A'B' estão posicionados nos pontos antiprincipais da lente.

 



resposta: (C)
×
(FUVEST - 1998) No cubo de aresta 1, considere as arestas $\,\overline{AC}\;$ e $\;\overline{BD}\,$ e o ponto médio, $\,M\,$, de $\,\overline{AC}\;$.
a)
Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{A}D\,$.
b)
Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{M}D\,$.
c)
Qual dos ângulos $\,B\hat{A}D\,$ ou $\,B\hat{M}D\,$ é maior? Justifique.
cubo de aresta 1

 



resposta: a) $\,cosB\hat{A}D\,=\,\frac{\,\sqrt{6\,}\,}{3}\,$
b) $\,cosB\hat{M}D\,=\,\frac{\,7\,}{9}\,$
c) como a função cosseno é decrescente para ângulos agudos, se cos(BÂD) > cos(BMD) decorre que (BÂD) < (BMD)
×
(FUVEST - 1998) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e o prolongamento desses lados forma ângulo de 60°.
quadrilátero irregular
a)
Indicando por $\,\hat{A}\,$, $\,\hat{B}\,$, $\,\hat{C}\;$ e $\;\hat{D}\,$, respectivamente, as medidas dos ângulos internos do quadrilátero de vértices $\,A, B, C \;$ e $\;D\,$, calcule $\,\hat{A}\, + \,\hat{B}\;$ e $\;\hat{C}\, + \,\hat{D}\,$.
b)
Sejam $\,J\,$ o ponto médio de $\,\overline{DC}\,$, $\,M\,$ o ponto médio de $\,\overline{AC}\,$ e $\,N\,$ o ponto médio de $\,\overline{BD}\,$. Calcule $\,JM\,$ e $\,JN\,$.
c)
Calcule a medida do ângulo $\,M\hat{J}N\,$.

 



resposta: a) $\,\hat{A} + \hat{B} = 120^o\,$ e $\,\hat{D} + \hat{C} = 240^o\,$
b) JM = 1 e JN = 1
c) ⊾MJN = 60°
×
Veja exercÍcio sobre:
geometria analítica
ponto
reta
ponto e reta
coordenadas cartesianas
equação da reta